Compact Groups

지금까지의 표현 이론은 $G$가 유한하다는 가정 하에 전개되어 왔다. 하지만 $G$가 유한하지 않더라도 몇몇 조건을 만족하면, 유한 군에서 증명한 유용한 성질들을 그대로 가져갈 수 있다. 여기에는 대수적 위상수학$($algebraic topology$)$, 측도론$($measure theory$)$가 사용되는데, 나는 아직 이 내용들을 배우지 않았기 때문에... 이해한 만큼 적어보도록 하겠다. $($해당 내용들은 약 1년 뒤에 배울 예정인데, 기회가 된다면 오류가 없도록 배우고 내용을 다듬거나 추가해보도록 하겠다.$)$

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1. Compact Groups

Definition. A topological group $G$ is a group endowed with a topology such that the product $s \cdot t$ and the inverse $s^{-1}$ are continuous.

 

Definition. A topological group $G$ is said to be compact if its topology is that of a compact space, that is, satisfies the Borel-Lebesgue theorem.

 

2. Invariant measure on a compact group

A group $G$ is finite, we have used the operation of averaging over G. $( i.e. (1/g) \sum_{t \in G} f(t). )$

An analogous operation exists for compact groups, that is, $\int_{G} f(t) dt$ with respect to a measure $dt$.

Such averaging satisfies two properties:

$($i$)$ $\int_{G} f(t) dt = \int_{G} f(ts) dt$ for each continuous function $f$ and each $s \in G$ $($Invariance of $dt$ under right translation$)$.

$($ii$)$ $\int_{G} dt = 1$ $($ The total mass of $dt$ is equal to 1$)$.

 

3. Linear representation of compact groups

Definition. Let $G$ be a compact group and let $V$ be a vector space of finite dimension over the field of complex numbers. A linear representation of $G$ in $V$ is a homomorphism $\rho:G \rightarrow GL(V)$ which is continuous. This condition is equivalent to saying that $\rho_{s}x$ is a continuous function of the two variables $s \in G, x \in V$.

 

The variation where a group $G$ is a compact group.

• The scalar product $ \left( \phi | \psi \right) $ of two functions $\phi$ and $\psi$ is:

$$ \left( \phi | \psi \right) = \int_{G} \phi (t) \psi (t)^{*} dt. $$

• The projection $p_{i}$ of the canonical decomposition are given by the formulas:

$$ p_{i}x = {n_{i} \over g} \underset{t \in G}{\sum} \chi_{i} (t)^{*} \rho_{t} x \rightarrow n_{i} \int_{G} \chi_{i} (t)^{*} \rho_{t} x dt. $$

 

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이렇게 $J.P.Serre$ 교재의 PART I이 끝났다. 저자 서문에서 PART I은 양자 화학이나 물리를 공부하는 과학자들을 위한 부분이고, PART II가 수학자들을 위해 서술한 부분이라고 한다. 혼자 독학을 했다면, 여기서 멈추어도 충분하지만... 나는 수학과의 수업을 듣고 있기 때문에... 내가 부르짖어도 기차는 간다... 대충 훑어보니 뒤쪽은 Dummit&Foote 교재처럼 Module 이론에 집중해서 표현론을 기술하고 있는 것 같다. 

그래도 저번 학기에 HK로 선형대수학 공부할 때는 현대대수학I, II를 공부하지 않은 상태라 아무리 시간을 쏟아부어도 너무 개념이 생소하고 이해도 잘 안되고 어려웠었는데, 표현론은 시간을 쏟아부으면 그만큼은 좀 이해가 아무래도 되는 것 같아서 좋다.

이번 학기에 수강 중인 전자기학II, 양자정보응용, 현대대수학II이랑 비교했을 때는 제일 재밌게 느껴지는 건 왜일까... 나도 나를 이해할 수 없지만, 이렇게 대학원 수학의 맛에 길들여지는 건가 싶다. 아무튼 PART II도 열심히 공부해서 포스팅 해보겠다!