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솔직히 저자 서문에서 언급한 물리/화학자를 위해 쓴 PART I이 지나면서 너무 어려웠다. PART II는 공부하거나 이해할 엄두조차 나지 않았고, 학교 다니는 5년 간 처음으로 백지 과제도 내봤다. 그래도 마음 편하게 먹고 여유롭게 공부하니까 또 어느 정도는 이해가 가길래 이해한 내용들 정리도 할 겸 블로그에 정리해본다. 요즘, 기계과 대학원을 가려다가 물리과 대학원으로 방향을 틀다 보니 과도기에 놓여있는 것 같다. 남들에 비해 물리 진도가 뒤쳐진다고 생각하니 마음이 급하고, 또 이번 여름 방학부터 본격적으로 연구하려고 하니 더 급하다. 그래서 공부가 안되면 물리과에 적응 못하면 어떡하지라는 생각으로 번지는 것 같다. 난 원래 공부 잘 될 때 안 될 때가 확실한 타입인데... 그래도 사쿠라이 공부도 점..

Mathematics/Representations Theory 2023. 5. 24. 02:16

지금까지의 표현 이론은 $G$가 유한하다는 가정 하에 전개되어 왔다. 하지만 $G$가 유한하지 않더라도 몇몇 조건을 만족하면, 유한 군에서 증명한 유용한 성질들을 그대로 가져갈 수 있다. 여기에는 대수적 위상수학$($algebraic topology$)$, 측도론$($measure theory$)$가 사용되는데, 나는 아직 이 내용들을 배우지 않았기 때문에... 이해한 만큼 적어보도록 하겠다. $($해당 내용들은 약 1년 뒤에 배울 예정인데, 기회가 된다면 오류가 없도록 배우고 내용을 다듬거나 추가해보도록 하겠다.$)$ 1. Compact Groups Definition. A topological group $G$ is a group endowed with a topology such that the p..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 17. 16:25

이번 챕터에서는 Induced Representation을 다룬다. 교수님께서 말씀하시길, 표현론에서는 induced representation이 가장 중요하다고 한다. 이후에 배울 chapter 7은 induced representation을 아래 Example 5과 같이 tensor notation을 이용해서 정의해서 Frobenius reciprocity formula, Mackey's criterion 등을 공부하게 된다. 정확히는 모르지만, 물리에서는 Wigner$($위그너$)$가 전개한 이론에서 inuduced representation이 사용되었다고 하니 잘 공부해두면 곧 도움이 되지 않을까 싶다. Induced representation, canonical decomposition, ten..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 23:55

1. Abelian Subgroups Definition. $G$ is abelian $($or commutative $)$ if $st = ts$ for all $s, t \in G$. Abelian group implies that each conjugacy class of $G$ consists of a single element, also that each function on $G$ is a class function. Theorem 9. $G$ is abelian $\iff$ All the irreducible representation of $G$ have degree $1$. 더보기 Let $ (n_{1}, \ldots, n_{h}) $ be the degrees of the distinc..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 22:44

Character Theory #2에서 다양한 표현의 분해에 대해서 미리 언급했는데, 이번에는 이에 대해 다루어 보고자 한다. 6. Canonical Decomposition of A Representation Let $\rho: G \rightarrow GL(V)$ be a linear representation of $G$. We are going to define a direct sum decomposition of $V$ of $V$ which is coarser than the decomposition into irreducible representations. Its advantage is uniqueness. $$ V = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{h} $$ Eac..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 21:51

4. Decomposition of the Regular Representation Proposition 5. The character $r_{G}$ of the regular representation is given by the formulas: $$ r_{G}(1) = g, \quad \quad \quad \quad \ $$ $$ r_{G}(s)=0 \quad if\ s \neq 1.$$ 더보기 As preceding posting, the regular representation $\rho$ of $G$ satisfies $\rho_{s}e_{t}=e_{st}$ Then, $s \neq 1$ for $^\forall s \in G \Rightarrow st \neq t \Rightarrow Tr(..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 18:28

3. Orthogonality Relations for Characters Definition. Scalar product of $\phi$ and $\psi$ on $G$ as follows. $$ \left( \phi, \psi \right) = {1 \over g} \sum_{t \in G} \phi(t) \psi(t)^{*} $$ $$ \left( \phi, \psi \right) = {1 \over g} \sum_{t \in G} \phi(t) \check{\psi}(t^{-1})^{*} = \left $$ by the formula $\check{\psi}(t) = \psi(t^{-1})^{*}.$ $ \left( \phi, \chi \righ..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 15:54

1. The Character of A Representation Let $V$ be a vector space and dim$($ $V$ $)=n$. And let a be a linear map of V into itself, which is matrix$(a_{ij})$. $$Tr(a)=\sum_{i} a_{ii}=\sum_{i} \lambda_{i}$$ Let $\rho:G \rightarrow GL(V)$ be a linear representation of $G$ in $V$. For each $s \in G$, $\chi_{ \rho }(s)=Tr(\rho_{s})$. Definition. $\chi_{ \rho }(s)$ is called character of the representat..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 01:57