Dispersion Relation$($Kramers-Kronig Relation$)$

원래도 이런 걸 좋아하긴 했지만, 수학이랑 물리를 둘 다 전공하다 보니 수리물리스러운 내용이 참 재미있는 것 같다. 수리물리의 최대 희열이라고 해야할까 좋은 점은 남들과 내가 차별화가 될 수 있다는 점인 것 같다. 이는 내가 부족한 수학 분야에서도 동일하게 내가 차별화되는$($...$)$점을 안고 있지만, 열심히 공부하면 어떻게든 극복할 수 있겠지라고 생각 중이다ㅋㅋ.

그래서 다시 말하면, 수학을 모르면 이 물리 상황이 어떻게 수식적으로 기술되는지 수박 겉핥기식으로는 알 수 있어도, 정성/정량적으로 깊게 이해하기는 힘들어지는 것 같다. 대표적인 사례를 하나 가져오면, 미적분 아는 사람과 모르는 사람은 고전역학을 이해하는 깊이가 크게 다를 것이다. 나는 물리학과 첫 수업으로 수리물리$($이걸 도대체 왜 처음 들었을까? 그리고 왜 Arfken을 하는 걸까?$)$를 들으면서 큰 충격을 받았다. 일단 Clifford Algebra 이게 뭔가? 이상한 수학들이 난무하는 Arfken의 수리물리에서 정신을 잃고, 일단 수학을 복수전공하는 만행을 저질렀다.$($지금은 모르는 수학 내용 나오면 Arfken 뒤적뒤적거리면서 공부하는데 초반에 한 번 크게 데인게 도움이 되는 것 같다고 생각은 한다.$)$ 뭐 결국에는 수학과 졸업 요건을 다 채우기는 했지만...ㅋㅋㅋ 이제는 수리물리에 나오는 내용들이 수학의 어떤 부분들을 공부해야 이해할 수 있을지 정도는 감이 잡힌다.

이런 이상한 수학들이 난무하지만, 일단 이해하고 나면 물리 현상을 이해하는데 큰 도움을 주는 것 같다. 그리고 이 이상한 수학들이 진입장벽으로 작용해 이를 배운 사람과 배우지 않은 사람 사이의 차별점을 제공해주는 것 같다. 이 점이 내가 참 힘들었으면서도, 수리물리를 재밌게 공부하는 이유인 것 같다. 그래도 나는 "수리물리"만을 공부하지는 못할 것 같다. 물리를 공부하면서, 수학을 비슷한 속도로 수준으로 같이 공부하고 이 둘이 시너지를 발휘해 나가는 것이 재밌지, 수학 혼자 치고 나가면서 물리와 동떨어진 내용을 기술하는 건 너무 추상적이기도 하고 잘 안 와닿기도 해서 수학을 공부할 동기가 생기지 않는 것 같다. 

아무튼 지금이 딱 그런 상황인데 양자장론에 표현론 내용이 나온다고 한~~참이나 미리 공부했는데, 재밌기는 한데... 물리를 이제는 좀 더 공부할 필요가 있는 것 같다. 물리 공부하려고 수학 공부하는거지 수학 공부하다가 물리 공부하는 건 아니잖아!! 앞으로는 수학보다는 물리에 치중해서 한 번 전체적으로 공부할 필요가 있을 것 같다.

 

서론이 길었는데 아무튼 Dispersion Relation 역시 복소해석학과 깊게 관련되어 있다. 복소해석학은 그나마 비수학과 학생들도 많이 듣는 강의이지만, 그래도 주변을 봤을 때 미분방정식이나 응용선형대수만큼 인기 있는 강의는 아닌 것 같아 글을 써봤다. 크게 쓰이는 복소해석학 내용으로는 Cauchy Residue Theorem, Indented Path, Cauchy Principal Value, Residue, Pole 정도이다. 해당 내용이 복소해석학의 어디에 나오는지 첨언할테니 참고해도 좋을 것 같다.

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1. Dispersion Relation

외력 $eE(t)$에 의해 운동하는 질량 $m$을 가진 입자의 고전적인 감쇠 진동 운동을 분석해보자. 이의 운동 방정식의 양변에 $m$을 나눈 결과는 아래와 같다.

$$ { d^{2}x \over dt^{2}} + \gamma {dx \over dt} + w_{0}^{2} x = {e \over m} E(t). $$

해당 식을 푸리에 변환$($Fourier Transformation$)$하고, $\tilde{R}(w)$에 해당하는 항을 따로 뽑아 실수, 허수 항으로 분리하자.

$$ \tilde{x}(w) = { e/m \over (w_{0}^{2} - w^{2}) - i \gamma w} \tilde{E}(w) = \tilde{R}(w) \tilde{E}(w). $$ 

$$ \Rightarrow \tilde{R}(w) = {e \over m} \left[  { w_{0}^{2} - w^{2} \over (w_{0}^{2} - w^{2})^{2} + (\gamma w)^{2}} \right]  + i {e \over m} \left[  { \gamma w \over (w_{0}^{2} - w^{2})^{2} + (\gamma w)^{2}} \right]. $$

이때 $\tilde{R}(w)$가 부르기도 힘든 Kramers-Kronig Relation를 만족한다. 그래서 나는 그냥 KK relation이라고 퉁쳐버린다ㅋㅋ.

 

그럼 본격적으로 KK relation을 유도해보자.

Let $ f(z) = {\tilde{R}(w) \over z - w}. $ Contour $C$ 내부에서 $f(z)$는 해석적이기 때문에 코시 유수정리$($Cauchy's Residue Theorem$)$에 따라,

$$  \int_{-A}^{w-\delta} f(z) dz + \int_{C_{\delta}} f(z) dz + \int_{w+\delta}^{A} f(z) dz + \int_{C_{A}} f(z) dz = 0. $$

Integral Contour $C$

Churchill Section 76: Cauchy's Residue Theorem, p.233을 참고하자.

이때, $\delta$는 주어진 $A$에 대해 $w \pm \delta \in (-A,A)$를 초과하지 않는 선에서 어떤 $\delta \in \mathbb{R}$도 상관 없다. 우리는 그 중에서 $\delta$가 0으로 가는 극한을 생각하자.

 

$($i$)$ Cauchy Principal Value에 따라, 첫 번째 항과 세 번째 항은 다음과 같이 정의된다.

$$ P \int_{-A}^{A} f(z) dz \equiv \underset{\delta \rightarrow 0}{lim} \left( \int_{-A}^{w-\delta} f(z) dz + \int_{w+\delta}^{A} f(z) dz \right). $$

보다 자세한 내용은 Churchill Section 85: Evaluation of Improper Integral, p. 259를 참고하자.

 

$($ii$)$ 두 번째 항에는 Indented path를 적용할 수 있다.

Indented path의 원 반경은 0으로 수렴해야 하기 때문에, $\delta \rightarrow 0$ 극한을 취할 것이고, 이는 $\delta$의 주어진 범위에 포함된다. 그 결과,

$$ \underset{\delta \rightarrow 0}{lim} \int_{C_{\delta}} f(z) dz = -i \pi \underset{z=w}{Res} f(z). $$

이때, $f(z)$는 $\tilde{R}(w) \neq 0$이기 때문에, $z=w$은 simple pole이다. 따라서,

$$ \underset{z=w}{Res} f(z) = \tilde{R}(w). $$

Indented Path를 구하는 과정은 Churchill Section 89: An Indented Path, p.274를 참고하고, $z=w$에서 $f(z)$의 유수를 구하는 과정은 Churchill Section 80: Residues at Poles, p. 243을 참고하자.

 

$($iii$)$ 네 번째 항은 다음 과 같은 조건을 만족한다.

$$ \underset{A \rightarrow \infty}{lim} \int_{C_{A}} f(z) dz = 0. $$ 

이와 비슷한 적분에 대한 예시는 Churchill Section 86: Example, p. 262를 참고하자.

 

따라서 초기 식에 $A$를 무한대로 보내고, $\delta$를 0으로 보내고, $($i$)$~$($iii$)$에서 얻은 결과를 식에 대입하면 아래와 같이 정리할 수 있다

$$ P \int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz - i \pi \tilde{R}(w) = 0. $$

양변에 $i \pi$를 나눠주고 우변을 이항하면,

$$ \tilde{R}(w) = {1 \over i \pi} P \int_{-\infty}^{\infty} f(z)dz = {1 \over i \pi} P \int_{-\infty}^{\infty} {\tilde{R}(w') \over w' - w} dw'. $$

이때 $\tilde{R}(w)$는 복소수이기 때문에 실수, 허수로 항을 분리해서 정리하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$$R_{r}(w) = {1 \over \pi} P \int_{-\infty}^{\infty} {R_{i}(w') \over w' - w} dw', \quad R_{i}(w) = -{1 \over \pi} P \int_{-\infty}^{\infty} {R_{r}(w') \over w' - w} dw'. $$

이 식이 Dispersion Relation이다. 여기서 논의를 더 이어가면$($논의라고 할 것도 없고, 간단한 수식 계산이 전부이다.$)$ 일명 KK relation을 유도할 수 있다.

 

2. Kramers-Kronig Relation

 앞서 했던 푸리에 변환을 다시 상기해보자. 

$$ \tilde{R}(w) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} R(t)e^{iwt} dt. $$

여기서 $R(t)$는 time-domain에서의 함수로 이 함수의 치역은 실수의 부분 집합이다. 따라서, 

$$ \tilde{R}(w)^{*} = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} R(t)e^{-iwt} dt = \tilde{R}(-w). $$

$ \tilde{R}(w) \in \mathbb{C}$이기 때문에 실수, 허수 항으로 나눠서 분리하면 아래와 같은 식을 얻는다.

$$ R_{r}(-w) = R_{r}(w), \quad R_{i}(-w) = -R_{i}(w). $$

$$ R_{r}(w) = {1 \over \pi} \int_{-\infty}^{0} {R_{i}(w') \over w'-w}dw' + {1 \over \pi} P \int_{0}^{\infty} {R_{i}(w') \over w'-w}dw' $$

$w''=-w'$로 정의하면, 첫 번째 항을 아래와 같이 변형할 수 있다.

$$ \Rightarrow P \int_{-\infty}^{0} {R_{i}(w') \over w'-w}dw' = P \int_{\infty}^{0} {R_{i}(-w'') \over -w''-w}(-dw'') = P \int_{\infty}^{0} {-R_{i}(w'') \over w''+w}dw'' $$

$$ = P \int_{0}^{\infty} {R_{i}(w'') \over w''+w}dw'' = P \int_{0}^{\infty} {R_{i}(w') \over w'+w}dw'. $$

$$ \Rightarrow R_{r}(w) = {1 \over \pi} P \int_{0}^{\infty} {R_{i}(w') \over w'+w}dw' + {1 \over \pi}  P \int_{0}^{\infty} {R_{i}(w') \over w'-w}dw' $$

$$ = {1 \over \pi} P \int_{0}^{\infty} R_{i}(w') \left( {1 \over w'+w} + {1 \over w'-w} \right) dw' = {2 \over \pi} P \int_{0}^{\infty} {w'R_{i}(w') \over w'^{2}-w^{2}} dw' $$

유사하게 $R_{i}$에도 적용하면, 

$$ R_{i}(w) = -{2 \over \pi} P \int_{0}^{\infty} {wR_{r}(w') \over w'^{2}-w^{2}} dw' $$

를 얻을 수 있다.

$$ R_{r}(w) = {2 \over \pi} P \int_{0}^{\infty} {w'R_{i}(w') \over w'^{2}-w^{2}} dw', \quad R_{i}(w) = -{2 \over \pi} P \int_{0}^{\infty} {wR_{r}(w') \over w'^{2}-w^{2}} dw' .$$

이는 Kramers-Kronig relation으로 식 유도를 완료했다.

유도에 관한 전제척인 흐름과 방향성은 Reitz의 Chapter 19: Dispersion and Oscillating Field in DIspersive Media와 Appendix VII를 참고하면 좋을 것 같다. 

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Dispersion Relation에서 얻을 수 있는 공부를 하는 이유에 대한 결론은 수학을 미리 공부해두면 물리에 많이 도움이 된다! 이처럼 앞으로 물리에서 수리물리스러운 내용이 포함되는 경우, 물리학 서적에서 부족한 수학적인 내용을 수학 서적에서 발췌해서 글을 종종 포스팅해보도록 하겠다. 이렇게 하다 보면 새로운 물리학 내용을 내가 수학적으로 기술하는데도 많은 도움이 되지 않을까 싶다.

 

Reference.

Foundations of Electromagnetic Theory 4th Edition, Reitz, Milford, Christy, PEARSON.

Complex Variables and Application 9th Edition, James Ward Brown, Ruel V. Churchill, McGRAW HILL.