Atomic Physics #3

5. Rabi Oscillation

시간 의존 슈뢰딩거 방정식 $i\hbar {\partial\Psi \over \partial t} = H \Psi$을 변수분리를 통해서 풀면, 특정 에너지를 갖는 파동함수는 아래와 같이 기술된다.

$$ \Psi_{n}(r,t) = \psi_{n}(r)e^{-E_{n}t/\hbar}. $$

따라서 두 준위 계를 기술하는 파동 함수는 다음과 같다.

$$ \Psi(r,t) = c_{1}(t) \psi_{1}(r) e^{-iE_{1}t/\hbar} + c_{2}(t) \psi_{2}(r) e^{-iE_{2}t/\hbar} = c_{1}\left| 1 \right\rangle e^{-iw_{2}t} + c_{2}\left| 2 \right\rangle e^{-iw_{2}t}. $$

이때 진동하는 전기장에 의한 해밀토니안은 다음과 같다.

$$ H_{1}(t) = e r \cdot E_{0} cos(wt) $$

이를 위에서 구한 파동 함수를 perturbated Hamiltonian이 포함된 슈뢰당거 방정식에 대입하면 아래와 같은 식을 얻는다.

$$ i\dot{c}_{1} = \Omega cos(wt) e^{-iw_{0}t} c_{2}, \quad i\dot{c}_{2} = \Omega cos(wt) e^{iw_{0}t} c_{1} $$

where $ \hbar \Omega = \left\langle 1 | e r \cdot E_{0} | 2 \right\rangle.$

이때, $ \left\langle n |x| n \right\rangle$는 홀짝성에 의해 0인 것이 이용되었다. 

 

Rotating wave approximation을 이용하면,

$$ i\dot{c}_{1} = {\Omega \over 2} (e^{iwt}+e^{-iwt}) e^{-iw_{0}t} c_{2} = {\Omega \over 2} (e^{i(w-w_{0})t}+e^{-i(w+w_{0})t}) c_{2} \approx {\Omega \over 2} e^{i(w-w_{0})t} c_{2}. $$

비슷한 결과를 $\dot{c}_{2}$에서도 얻을 수 있다. $\delta \equiv w-w_{0}$를 이용해서 식을 정리하면,

$$ \therefore i\dot{c}_{1} = {\Omega \over 2} e^{i\delta t} c_{2}, \quad i\dot{c}_{2} = {\Omega \over 2} e^{-i\delta t} c_{1}. $$

두 식을 $c_{2}$에 대해서 정리하면,

$$ {d^{2}c_{2} \over dt^{2}} +i \delta {dc_{2} \over dt} + \left( {\Omega \over 2} \right)^{2}c_{2} = 0.$$

위 이계 미분방정식을 초기조건 $c_{1}(0)=1,\ c_{2}(0)=0$에 대해서 풀면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$ c_{2}(t) = -i{\Omega \over \sqrt{\Omega^{2} + \delta^{2}}} sin \left({\sqrt{\Omega^{2} + \delta^{2}} \over 2} t \right) e^{-i \delta t / 2}, $$

$$ c_{1}(t) = \left[ cos\left({\sqrt{\Omega^{2} + \delta^{2}} \over 2} t \right) - i{\delta \over \sqrt{\Omega^{2} + \delta^{2}}} sin \left({\sqrt{\Omega^{2} + \delta^{2}} \over 2} t \right) \right] e^{i \delta t / 2}. $$

$$ \Rightarrow P_{e}(t) = |c_{2}|^{2} = {\Omega \over \Omega^{2} + \delta^{2}} sin^{2} \left({\sqrt{\Omega^{2} + \delta^{2}} \over 2} t \right). $$

이때 $\Omega' = \sqrt{\Omega^{2} + \delta^{2}}$ 를 Generalized Rabi Frequency라고 부른다.

 

Probability of Each States

For $\delta = 0$,

$($i$)$ $\pi$-pulse

$t_{\pi}$ transforms all of the ground states into excited states. This operation is correctly equivalent to X-gate operation.

$$ Pauli \ X \ Gate= \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

$($ii$)$ $\pi/2$-pluse 

$t_{\pi/2}$ transforms all of the ground states into half-mixed states, that is, $ \left| 1 \right\rangle $ and $\left| 2 \right\rangle$ exist the equivalent possibility, at the same time. This operation is correctly equivalent to Hadamard gate operation.

$$ Hadamard \ Gate = {1 \over \sqrt{2}} \begin{pmatrix}  1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}. $$

$ \therefore$ Rabi pulses are basic tools to implement single qubit gate operation!