Induced Representation: Revisit

솔직히 저자 서문에서 언급한 물리/화학자를 위해 쓴 PART I이 지나면서 너무 어려웠다. PART II는 공부하거나 이해할 엄두조차 나지 않았고, 학교 다니는 5년 간 처음으로 백지 과제도 내봤다. 그래도 마음 편하게 먹고 여유롭게 공부하니까 또 어느 정도는 이해가 가길래 이해한 내용들 정리도 할 겸 블로그에 정리해본다.

요즘, 기계과 대학원을 가려다가 물리과 대학원으로 방향을 틀다 보니 과도기에 놓여있는 것 같다. 남들에 비해 물리 진도가 뒤쳐진다고 생각하니 마음이 급하고, 또 이번 여름 방학부터 본격적으로 연구하려고 하니 더 급하다. 그래서 공부가 안되면 물리과에 적응 못하면 어떡하지라는 생각으로 번지는 것 같다. 난 원래 공부 잘 될 때 안 될 때가 확실한 타입인데... 그래도 사쿠라이 공부도 점차 적응해가는 걸 보면 과도기면 견뎌내면 잘 할 수 있을 것 같다. 물리 공부 좀 원 없이 해서 털어버리게 빨리 종강하고 방학이 됐으면 좋겠다~

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1. Another View from Tensor Product

여기서 배운 것처럼 induced representation은 coset $G/H$가 만드는 representatives에 의한 표현들의 direct sum으로 표현될 수 있다. 하지만, 보다 추상적이고 수학적인 방법으로 표현하는 방법이 있는데, 바로 텐서곱을 이용하는 것이다. 이때 아래 V는 direct sum을 이용해 정의한 표현과 정확히 일치한다.  

$$ V = \mathbb{C} [ G ] \otimes_{ \mathbb{C} [ H ] } W. $$

여기서 텐서곱을 정확히 이해하기 위해서는 Dummite&Foote의 Chp10: Module Theory를 공부하는 것을 권장한다. 여기서 텐서곱 자체가 module에 대한 이해를 기반으로 쓰여진 것이기 때문이다. 하지만 나는 그렇게까지 자세히는 필요없기 때문에 $($ 가볍게 공부해보려다가 도저히 안되겠어서 포기했다. 대수를 다 공부했는데도 module은 너무 어렵다... 추후에 Lie group, algebra 공부하면 그때 또 다시 공부해보는 걸로... $)$ 일반적인 텐서 정도로 이해하고, $\otimes$에 아래첨자로 적힌 $H$의 의미는 $\otimes$ 의 좌우를 $H$의 원소만이 자유롭게 이동할 수 있다는 정도로 이해하면 좋을 것 같다.

 

Remark 1.

$($ i $)$ The characterization of the representation induced by $W$ makes it obvious that the induced representation exists and is unique up to isomorphism from Theorem 11. $)$ In what follows, the representation of $G$ induced by $W$ will be denoted by $Ind^{G}_{H}(W)$. 

$($ ii $)$ If $V$ is induced by $W$ and if $E$ is a $\mathbb{C} [G]$-module, then:

$$ Hom^{H}(W,E) \cong Hom^{G}(V,E). $$

from lemma 1.

$($ iii $)$ Induction is transitive. For $H \ne G \ne K$, 

$$ Ind^{K}_{G}( Ind^{G}_{H} (W) ) \cong Ind^{K}_{H} (W). $$

 

2. The character of an induced representation

Let $f$ be a class function on $H$. Consider the function $f'$ on $G$ defined as 

$$ f'(s) = {1 \over h} \underset{t^{-1}st \in H}{\underset{t \in G}{\sum}} f(t^{-1}st). $$

We say that $f'$ is induced by $f$ and denote it by $ Ind^{G}_{H}(f) $.

 

Proposition 20. 

$($ i $)$ The function $ Ind(f) $ is a class function on $G$.

$($ ii $)$ If $f$ is the character of a representation $W$ of $H$, then $ Ind(f) $ is the character of the induced representation $ Ind(W) $ of $G$.

$($ i $)$ can be obtained from $($ ii $)$ and the observation that each class function is a linea rcombination of characters.
$($ ii $)$ has already been proved at Theorem 12. $_\Box$

 

Lemma 2. If $\phi_{1}$ and $\phi_{2}$ are the characters of $V_{1}$ and $V_{2}$, then

$$ \left\langle \phi_{1}, \phi_{2} \right\rangle _{G} = \left\langle V_{1}, V_{2} \right\rangle _{G} . $$

Decomposing $V_{1}$ and $V_{2}$ into direct sums, we can assume that they are irreducible, in which case the lamma follows from the orthogonality formulas for characters from Theorem 3 where $ \left\langle V_{1}, V_{2} \right\rangle \equiv dim. Hom^{G} (V_{1}, V_{2} ) $. $_\Box$

 

Theorem 13: Frobenius Reciprocity.

If $\psi$ is a class function on $H$ and $\phi$ a class function on $G$, then

$$ \left\langle \psi, Res (\phi) \right\rangle _{H} = \left\langle Ind (\psi), \phi \right\rangle _{G}. $$

By Lemma 2, it suffices to show 
$$ \left\langle W, Res(E) \right\rangle _{H} = \left\langle Ind(W), E \right\rangle _{G}, $$
that is, 
$$ dim. Hom^{H} (W, Res(E)) = dim. Hom^{G} (Ind(W), E), $$
which follows from Remark 1 $($ ii $)$. $_\Box$

 

Remark 2.

$($ i $)$ Theorem 13 expresses the fact that the maps $Res$ and $Ind$ are adjoints of each other.

$($ ii $)$ There are also useful formula 

$$ Ind( \psi \cdot Res(\phi)) = Ind(\psi) \cdot \phi . $$

from $ Ind(W) \otimes E \cong Ind(W \otimes Res(E))$. 

 

Proposition 21. Let $W$ be an irreducible representation of $H$ and $E$ be an irreducible representation of $G$. Then #$($$W$ occurs in $Res(E)$ $)$ $=$ #$($ $E$ occurs in $Ind(W)$ $)$.

It has a similar proof concept to Theorem 4.

 

3. Restriction to subgroups

$H, K$가 $G$의 subgroup들이라고 하자. 만약 $H$의 representation $W$에서 $G$의 induced representation $V$을 얻었다고 하자. $V$를 $K$에 대해서 제한한 $Res_{K}(V)$는 $K$의 representation일 것이라고 추측할 수 있다. 얼핏 보면 당연해 보이는 이를 증명하기 위해 굉장히 요상한 2가지를 정의한다. 

$($ i $)$ $K \setminus G/H \underset{def}{\equiv} \{KsH | s \in G \} $.

$($ ii $)$ For $s \in G, H_{s} = sHs^{-1} \cap K $ where S is a set of representatives for the $(H, K)$ double cosets of $G$.

$($ iii $)$ $\rho^{s} = \rho(s^{-1}xs) $ for $x \in H_{s} $ is a homomorphism from $H_{s}$ to $GL(W)$ and hence a linear representation of $H_{s}$, denoted $W_{s}$. Since $H_{s} \le K$, then $Ind^{K}_{H_{s}}(W_{s})$ is defined.

 

Proposition 22.

$$Res_{K} \left( Ind^{G}_{H} (W) \right) \cong Ind^{K}_{H_{s}}(W_{s})$$

for $ s \in S$.

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하하... 이러다가 더 공부 못하고 종강해버렸다ㅋㅋ 표현론이 정말정말 어렵기는 했지만, 중간고사 범위까지는 어떻게 어떻게 구글링하고 시간을 쏟아부으면 공부가 됐었다. 그런데 기말고사 범위부터는 뭐 이해가 되기는 되는데...일부 내용이 너무 추상적이었다. 내 생각에 내용이 와닿지 않았던 가장 큰 이유는 Module이 뭔지 정확한 이해가 서지 않았기 때문이다. Module이 정확히 어떤 구조인지 그림이 안그려지니까, 초석이 쌓이지 않고, 부족한 토대 위에 Module을 기반으로 해서 텐서곱을 정의하고, 논의를 전개해 나가니까 그림들이 이어지지 않았던 것 같다. 그래도 표현론이 어떤 건지 대충은 알겠다. 한 줄로 요약하면

"군에 원소들을 벡터 공간에 작용하도록 행렬에 대응시킨 것"

정도 되는 것 같다. 결국 책의 서두에 적인 표현의 정의로 돌아갔다. 어떻게 보면 당연한건가?ㅋㅋ 그래도 이것 뿐만 아니라 스피너들을 왜 행렬로 표현할 수 있는지, Stark effect에서 각 상태들이 split 될 때 왜 벡터 꼴로 나타나는지 등이 선형대수 기저 관련 지식들과 합쳐져서 전체적인 그림이 그려지는 것 같다. 

확실히 수학은 배우면 너무 어렵고, 이게 뭐가 뭔지도 모르겠지만 일단 여기서 한 대 맞고 오면 맷집이 생기고 뭐가 뭔지 경험이 쌓여서 물리를 공부하는데 도움이 되는 것 같다. 수학을 확실히 이해하고 물리로 금의환향하면 더더욱 좋겠지만... 그건 나보다 더 똑똑한 천재님들에게 맡기는 걸로 하자.

항상 세상을 겸손하게 살아야 함을, 세상에 똑똑한 사람이 너무나도 많음을, 내 자신에 대한 반성과 부족함에 대한 자각을 수학을 공부하면 항상 느낀다. 나는 내가 잘하는 일을 하자!