2023/07/24 공부 근황

이전에 시험 기간에 양자장론 공부한다는 포스팅 이후로 한 한 달 정도 공부를 제대로 한 것 같다. 그동안 지금 생각하기에는 꽤 많은 걸 공부한 거 같은데, 정리가 안 된 느낌이 있어서 방향도 한 번 잡고, 뭘 공부했는지 정리도 한 번 하고, 앞으로 뭘 공부할지도 한 번 기록해두려고 한다. 

 

1. 공부 계획 및 공부했던 것들

일단 공부하고자 하는 최종 목표는 topological insulator 였고, 이 개념을 이해하기 위해 다방면으로 공부해 보았다. 솔직히 처음에는 이게 뭔지도 모르겠고 막막했는데, 공부를 하다 보니까 어느 정도 갈피가 잡힌 것 같다. 처음에는 일단 교수님이 제공해주신 topological insulator 관련 논문들을 읽는 것부터 시작했는데, 교수님이 논문이 안 읽히더라도 쭉쭉 읽어야 한다고 조언해주셔서 일단 그렇게 논문을 읽어보기는 했는데 워낙 개념 자체가 생소하고, 배경 전공 지식들도 아는게 적다보니 읽는게 쉽지만은 않았던 것 같다. 그래서 배경 전공 지식을 좀 더 공부해 봐야겠다라는 생각이 들던 찰나에 교수님께서 공부해 보면 좋은 연습문제들을 던져주었고, 이 문제들의 흐름을 따라가면서 공부하다가 보니 비교적 쉽게 공부 방향을 잡을 수 있었던 것 같다.

 

그 전에 일단 양자장론의 creation, annihilation operator를 이해할 필요가 있었다. 이는 교수님이 추천해주신 Bruus의 Introduction to Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics의 책의 Chp1으로 공부를 하였다. 음... 굉장히 생소했지만, 그래도 양자물리의 사다리 연산자를 생각하면서 공부하다보니 이해는 할 수 있을 것 같았는데 쉽지는 않았다. 일단 쭉쭉 공부했고, 이후에 Sakurai의 Chp7을 추가로 공부해서 좀 더 확실하게 개념을 다질 수 있었던 것 같다. 그리고 다시 Bruus 공부를 하니까 비교적 쉽게 이해가 됐던 것 같다. 가장 헷갈렸던 건 아래의 해밀토니안이 물리적으로 뭘 의미하는지 직관적으로 이해하는 과정이었던 것 같다. 

$$ \mathcal{H} = -t \underset{n=1}{\overset{N}{\sum}} \left( c_{n}^{\dagger} c_{n+1} + h.c  \right) - \mu \underset{n=1}{\overset{N}{\sum}} c_{n}^{\dagger} c_{n} $$

지금 생각하면 RHS의 첫 번째 항은 왼쪽으로의 hopping, $h.c.$는 오른쪽으로의 hopping, 두 번째 항은 chemcial or potential energy라는 것을 쉽게 이해할 수 있지만, 당시에는 쉽지 않았다. 처음에는 $h.c.$를 이해하는 것조차 쉽지 않았었다.... 그러고 나니

$$ \mathcal{H} = -t \underset{n=1}{\overset{N}{\sum}} (\left| n \right\rangle \left\langle n+1 \right| + h.c. ) $$

와 같은 bra, ket 표현도 자연스럽게 이해가 되었던 것 같다. 

그러고 나서 bruus의 Chp2, 3, 4도 공부해 보았지만, Chp1의 Sakurai를 읽기 이전과 같은 정도로 얕게 공부했던 것 같다. 이는 고체물리를 공부하면서 다시 커버가 됐던 것 같다.

 

고체물리는 Ashcroft와 Kittel 책을 번갈아 가면서 공부했다. 일단 Kittel로 필요하다고 생각되는 Chp1, 2를 공부해서 그동안 굉장히 추상적으로 갖고 있었던 브릴루앙 존, reciprocal space에 대한 이해를 체계적으로 할 수 있었다. 왜 fourier transformation을 하는 이유 역시 두 dual space를 이어주기 때문이라는 것으로 받아들일 수 있었다. 이에 대한 자세한 이해는 해당 블로그의 설명이 이해하기 좋았었다. Kittel의 부족한 점은 Ashcroft의 Chp5, 8, 10, 22를 공부해서 이해했다. 

Phonon에 대한 공부도 조금은 해두면 브릴루앙 존처럼 도움이 될 것 같아서 Kittel의 Chp4를 공부해보았는데 예전 기계진동학에서 배웠던 다입자 진동학과 크게 다르지 않았다. 다만 Bruus의 Chp3의 서술을 통해서 왜 phonon이 조금이나마 양자화되는지 이해할 수 있었다. Bruus Chp3, Kittel Chp4, Ashcroft Chp22에서 이제 thermal properties를 공부해보아야 하는데 이건 시간 상 뒤로 미루고 나중에 공부해보려고 한다. 

여기까지 공부를 하면서 드는 생각은 첫 번째로 생각보다 양자역학의 시발점이 고전역학에서 멀리 떨어져 있지 않다는 것이다. 나는 되게 양자역학 하면 고전역학에서 멀리 떨어져있을 줄 알았는데, 많은 아이디어들이 고전역학에서 시작하는 것 같다. 두 번째는 이건 교수님께서 말씀해주신건데 여러 책을 두고 원하는 부분을 발췌해서 보는 게 좋다는 것이다. 여태 나는 학부 공부를 하면서 굉장히 많은 책들을 공부했고, 대부분 수업들이 책의 80% 정도를 나가기 때문에 책을 끝까지 보는 것에 초점을 두었고, 약간 강박이 있었던 것 같다. 그런데 이제 그럴 수가 없겠더라... 대표적으로 Kittel의 서술은 이해가 안가는데 Ashcroft의 서술은 이해가 가고, 또 Ashcroft의 서술은 이해가 안가는데 Kittel의 서술은 이해가 가는 등의 여러 책을 꼭 볼 필요성을 느끼었다. 또, 공부할 것이 너무나도 많아서 모든 것을 알 수는 없다는 것을 많이 느낀다. 또, 공부할 것들이 모두 이해하기에는 많이 어렵다... 하나조차 이해하기 힘든 경우도 부기지수인 것 같다 ㅠㅠ

 

이제 마지막으로 topological insulator 관련 공부이다. 일단 너무 산발적으로 공부해서 정리하기도 힘들지만, 그 중에서도 Sakurai의 Chp5 Berry Phase 부분이 개념을 이해하는데 많은 도움이 되었던 것 같다. 이게 또 위에서 서술한 Hamiltonian이랑 합쳐져서 1D mono/di-atomic linear chain에서 effective vector potential이 어떻게 되고, polarization이 어떻게 되는지 이해하는데 많은 도움을 주었던 것 같다. 그리고 마지막으로 polarization을 통해 edge state에 대해 조금이나마 이해할 수 있었던 것 같다. $($ 여기서 berry phase가 $\pi$가 나오는게 스핀을 720도 돌려야 제 자리로 돌아오는 거랑 같은 건가? 라는 의문이 있지만 아직은 잘 모르겠다.$)$ 

 

2. 공부 소감

아무튼 주저리 주저리 설명이 길었는데 그간 공부한 내용 중 어떤 것이 가장 중요하냐고 물어보면 단연 "위상$($topology가 아니고 phase$)$"이라고 답할 수 있을 것 같다. 모든 내용들이 위상과 밀접하게 연관되어 있었고, 별로 중요해 보이지 않는 $e^{i \theta}$를 통해 많은 것들이 기술되었다. 예전 전자기학II의 광학에서도 그렇고, 게이지 대칭성도 그렇고 위상이 참 중요한 역할을 하는 것 같다. 그런 측면에서 아래의 텍스트 강력히 추천한다. 

https://horizon.kias.re.kr/5201/

해당 총 14개의 텍스트가 있으며 그중에서도 7, 8, 10, 12 챕터가 많은 도움이 되었던 것 같다. 다른 챕터들도 4개의 챕터들을 이해하는데 많은 도움을 주었다. 

 

Chp 1	Literally introduction
Chp 2	Why Quantum Mechanics requires imaginary number?
Chp 3	Wave equation
Chp 4	Gauge symmetry
Chp 5	Time dependent Schrodinger equation
Chp 6	Basic of quantum physics
Chp 7	2 state problems
Chp 8	Dirac string, berry phase, topological phase
Chp 9	EPR, bell's inequality, quantum computing
Chp 10	From 1D chain problem to graphene
Chp 11	First Quantization of Hydrogen
Chp 12	IQHE, BCS, FQHE, Higgs
Chp 13	Relative Quantum Mechanics
Chp 14	Literally epliogue

 

해당 표는 각 챕터의 제목과는 별도로 중요하다고 생각하는 keywords를 나열해 보았다. 이렇게 거의 모든 내용들을 하나하나 곱씹으며 정독했던 것 같고, 교재와 더불어 공부하는데 굉장히 큰 도움이 되었다. 박권 교수님께 굉장히 감사하다. $($최근 QIS 학회로 KIAS를 들를 일이 생겼는데, KIAS의 교수진 목록 벽보에서 박권 교수님 사진으로나마 뵙게 되어 굉장히 영광이었다.$)$

 

3. 앞으로 공부 계획

앞으로는 전공 서적 보다는 논문에 조금더 집중해서 공부를 해보려고 한다. 앞서 교수님은 두 가지 조언을 해주셨는데 두 번째 조언은 전공 서적으로 모든 걸 공부하려고 하지 말고, 논문을 읽으면서 필요한 내용들을 공부하면 된다는 것이다. 뭐, 앞선 조언과 통하는 부분이 많은 것 같다.

이제 전에는 무슨 소린지 모르겠던 논문들 다시 꺼내서 읽어보면서 얼마나 내가 지식이 좀 쌓였는지를 좀 확인해봐야 겠다. 그리고 관련 논문들도 조금씩 더 읽어 봐야겠다. 거기서 이제 필요한 내용들 전공 서적으로 조금씩 공부하면 좋을 듯 하다! 거기에 지금 응집물리여름학교 강의를 듣고 있는데 여름학교 공부를 더 하면 좋을 듯 싶다.

추가로 여태 공부하면서 학부 양자물리 책을 많이 참고해서 공부했는데, 생각보다 전자기를 안듣고 양자II를 들어서 그런지 개념이 부족한 부분이 많은 것 같았다. 그래서 이참에 학부 4대역학$($고전역학[Marion], 전자기학[Retiz], 양자물리[Gasiorowicz], 통계물리[Schroeder]$)$를 한 번 복습해보고 PNS도 좀 풀어보고 넘어가보려고 한다. 학부 4대역학은 따로 summary 해볼 생각인데 시간이 되면 한 번 정리해서 따로 포스팅 해 보겠다. 

거기에 공부하면서 공부할 필요를 느꼈던 수학인 Lie group 공부를 짬짬히 좀 해봐야겠다... 중요도 순으로 정리하면,

 

0. 응집물리 여름학교 공부

1. 4대역학 복습/summary + PNS

2. Topological insulator 관련 논문들 읽기

3. Bruus/Kittel/Sakurai 필요 부분 발췌해서 공부

4. Lie group$($미분기하$)$ 틈날 때 공부

 

로 정리할 수 있겠다. 허허... 참 공부할게 많지만 그래도 처음 양자장론 공부할 때보다는 비교적 공부할 대상들이 명확해져서 좋은 것 같다. 원래 물리는 계단식 성장이고, 뚫기가 어렵지 뚫고 나면 쉬워보이니까... 열심히 공부해야겠다. 대학원 바꿨을 때도 그랬지만 열심히 하는 것 밖에는 답이 없는 것 같다. 쉽지만 제일 어려운...

 

4. 내 옆의 책들

 

마지막으로 지금 제일 옆에 끼고 공부하는 책들을 찍어보았다. 가운데 라벨 붙은 3개의 책은 Lie group, 미분기하 공부하려고 도서관에서 최근에 빌린 책들이다. 4대 역학 책들도 복습하려고 책꽂이에서 최근에 옆으로 옮겼다. 원래는 Bruus, Ashcroft, Kittel, Sakurai, Gasiorowicz 5권에 가끔 필요한 미방, 선대, 복소, 해석 같은 수학 책들 가끔 봤던 것 같다. 보면 볼수록 Kittel, Ashcroft, Gasiorowicz, Sakurai는 너무 잘 쓴 책들이고 공부하기 재밌다. 다만, Bruus는 고체장론이라 그런가... 책은 물론 너무 좋지만 처음 이 책을 공부하기 보다는 양자역학, 고체물리를 다 공부하고 나서 복습용으로 심화용으로 공부하는 것이 좋을 것 같다. 마치 Rudin이나 Arfken처럼...

아무튼 요즘에는 공부하고 싶은 것들이 많아서 참 좋다. 처음 물리과로 틀었을 때 같은 불안감은 여전히 있기는 하지만 많이 사라진 것 같다. 다른 책들처럼 지금 옆에 있는 책들도 너덜너덜할 때까지 열심히 공부해야겠다!!