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지금까지의 표현 이론은 $G$가 유한하다는 가정 하에 전개되어 왔다. 하지만 $G$가 유한하지 않더라도 몇몇 조건을 만족하면, 유한 군에서 증명한 유용한 성질들을 그대로 가져갈 수 있다. 여기에는 대수적 위상수학$($algebraic topology$)$, 측도론$($measure theory$)$가 사용되는데, 나는 아직 이 내용들을 배우지 않았기 때문에... 이해한 만큼 적어보도록 하겠다. $($해당 내용들은 약 1년 뒤에 배울 예정인데, 기회가 된다면 오류가 없도록 배우고 내용을 다듬거나 추가해보도록 하겠다.$)$ 1. Compact Groups Definition. A topological group $G$ is a group endowed with a topology such that the p..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 17. 16:25

내일 현대대수학II 중간고사를 앞두고 있는 만큼, 다시 한 번 내용들을 복습하면서 정리해보았다. 미처 진도를 다 나가지 못한 Galois Theory 부분들은 기말고사 때 정리해 보겠다! PART VI: Extension Fields Chp 29: Introduction to Extension Fields Definition: A field $E$ is an extension field of a field $E$ if $F \le E$. Theorem 29.3$($Kronecker's Theorem$)$: Let $F$ be a field and let $f(x)$ be a nonconstant polynomial in $F[x]$. Then there exist an extension field $E=..

Mathematics/Abstract Algebra 2023. 4. 13. 20:50

이번 강의는 POSTECH에서 열린 현대물리특강: 양자정보응용$($Physics422$)$을 공부하면서 기록한 내용이다. 내가 물리학에서 관심 있어하는 주제 중 하나는 양자컴퓨터인데, 이에 대해서 공부한 내용을 포스팅 해보고자 한다. 이번 포스팅은 교양 정도 수준이지만, 두 번째 포스팅부터는 학부 양자역학을 가정하고 전개를 가져가겠다. 참고한 교재는 Atomic Physics, Christopher J. Foot, Oxford이다. 원자물리 책에서도 어이가 없을 정도로 생략된 부분이 많은데 이를 되도록이면 기술해보도록 하겠다. 교재가 학부생을 위한 교재인걸 보니 학부 양자역학을 배우고 난 이후에 배우는 걸텐데, 생략된게 많으면 어떻게 공부하라는 건가 싶다ㅋㅋㅋ 아무튼 이번 강의를 통해 광학, 양자광학이 ..

Physics/Quantum Computing 2023. 4. 10. 14:42

이번 챕터에서는 Induced Representation을 다룬다. 교수님께서 말씀하시길, 표현론에서는 induced representation이 가장 중요하다고 한다. 이후에 배울 chapter 7은 induced representation을 아래 Example 5과 같이 tensor notation을 이용해서 정의해서 Frobenius reciprocity formula, Mackey's criterion 등을 공부하게 된다. 정확히는 모르지만, 물리에서는 Wigner$($위그너$)$가 전개한 이론에서 inuduced representation이 사용되었다고 하니 잘 공부해두면 곧 도움이 되지 않을까 싶다. Induced representation, canonical decomposition, ten..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 23:55

1. Abelian Subgroups Definition. $G$ is abelian $($or commutative $)$ if $st = ts$ for all $s, t \in G$. Abelian group implies that each conjugacy class of $G$ consists of a single element, also that each function on $G$ is a class function. Theorem 9. $G$ is abelian $\iff$ All the irreducible representation of $G$ have degree $1$. 더보기 Let $ (n_{1}, \ldots, n_{h}) $ be the degrees of the distinc..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 22:44

Character Theory #2에서 다양한 표현의 분해에 대해서 미리 언급했는데, 이번에는 이에 대해 다루어 보고자 한다. 6. Canonical Decomposition of A Representation Let $\rho: G \rightarrow GL(V)$ be a linear representation of $G$. We are going to define a direct sum decomposition of $V$ of $V$ which is coarser than the decomposition into irreducible representations. Its advantage is uniqueness. $$ V = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{h} $$ Eac..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 21:51

4. Decomposition of the Regular Representation Proposition 5. The character $r_{G}$ of the regular representation is given by the formulas: $$ r_{G}(1) = g, \quad \quad \quad \quad \ $$ $$ r_{G}(s)=0 \quad if\ s \neq 1.$$ 더보기 As preceding posting, the regular representation $\rho$ of $G$ satisfies $\rho_{s}e_{t}=e_{st}$ Then, $s \neq 1$ for $^\forall s \in G \Rightarrow st \neq t \Rightarrow Tr(..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 18:28

3. Orthogonality Relations for Characters Definition. Scalar product of $\phi$ and $\psi$ on $G$ as follows. $$ \left( \phi, \psi \right) = {1 \over g} \sum_{t \in G} \phi(t) \psi(t)^{*} $$ $$ \left( \phi, \psi \right) = {1 \over g} \sum_{t \in G} \phi(t) \check{\psi}(t^{-1})^{*} = \left $$ by the formula $\check{\psi}(t) = \psi(t^{-1})^{*}.$ $ \left( \phi, \chi \righ..

Mathematics/Representations Theory 2023. 4. 4. 15:54